Question

如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　   　°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

Answer

（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．

【解析】

（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；

（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；

（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；

（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，

∴2∠B+∠A=90°，

解得，∠B=15°；

（2）如图①中，

在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

∵△ABE也是“准互余三角形”，

∴只有2∠B+∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，

∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，

∴CE=，

∴BE=5﹣=．

（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共线，

∴∠A+∠ACF=90°

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CF2=FB•FA，设FB=x，

则有：x（x+7）=122，

∴x=9或﹣16（舍去），

∴AF=7+9=16，

在Rt△ACF中，AC=．