Question

如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=x²+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．

     

Answer

（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=x2-x-；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值为．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得===，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，

∴-=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），

∴-b+c=0，解得：c=-，

即：抛物线的表达式为：y=x2-x-．

令y=0，则x2-x-=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，

∴===．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，

∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．

∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则OM＝，BM＝＝．

∵，，且∠DOC′＝∠C′OD，

∴△MOC′∽△C′OD．∴，

∴MC′＝C′D，

∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，

∴C′B＋C′D的最小值为．