Question

如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF．

(1)证明：∠E=∠C；

(2)若∠E=58°，求∠BDF的度数．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠BDF=116°.

【解析】

(1)连接AD，已知AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；由CD=BD可得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，所以∠B=∠C；根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E，由此即可证得∠E=∠C；（2）已知四边形AEDF是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=180°﹣∠E，由邻补角的定义可得∠CFD=180°﹣∠AFD，从而求得∠CFD=∠E=58°，再由∠BDF=∠C+∠CFD即可求得∠BDF的度数.

(1)连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=58°，

又∵∠E=∠C=58°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=116°.