Question

如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG

(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：2OB²＝BC•BF；

(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．

Answer

（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2

【解析】

（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；

（2）证△ABC∽△FBO得，结合AB＝2BO即可得；

（3）证ECD∽△EGC得，根据CE＝3，DG＝2.5知，解之可得．

【解析】
（1）CG与⊙O相切，理由如下：

如图1，连接CE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACF＝90°，

∵点G是EF的中点，

∴GF＝GE＝GC，

∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OF⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，

∴CG与⊙O相切；

（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，

∴∠OAE＝∠F，

又∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△FBO，

∴，即BO•AB＝BC•BF，

∵AB＝2BO，

∴2OB2＝BC•BF；

（3）由（1）知GC＝GE＝GF，

∴∠F＝∠GCF，

∴∠EGC＝2∠F，

又∵∠DCE＝2∠F，

∴∠EGC＝∠DCE，

∵∠DEC＝∠CEG，

∴△ECD∽△EGC，

∴，

∵CE＝3，DG＝2.5，

∴，

整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，

解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），

故DE＝2．