Question

如图，AB为⊙O直径，D为弧AC的中点，DG⊥AB于G，交AC于E，AC、BD相交于F．

（1）求证：AE＝DE；

（2）若AG＝2，DG＝4，求AF的长．

Answer

（1）见解析；（2）AF＝5．

【解析】

（1）根据已知条件得到∠CAD=∠ABD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠ADG=∠ABD，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD= ，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）∵D为的中点，

∴，

∴∠CAD＝∠ABD，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB＝90°，

∵DG⊥AB于G，

∴∠AGD＝90°，

∴∠DAG+∠ABD＝∠DAG+∠ADG＝90°，

∴∠ADG＝∠ABD，

∴∠ADG＝∠DAE，

∴AE＝DE；

（2）∵AG＝2，DG＝4，

∴AD＝，

∵∠DAF＝∠ADG，∠AGD＝∠ADF，

∴△ADF∽△DGA，

∴，

∴AF＝＝5．