Question

已知如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；

（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．

【解析】

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，则y=3，

∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．

∵PD∥y轴，

∴点D（x，﹣x+3），

∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．

∵a=﹣1＜0，

∴当x=时，线段PD的长度有最大值；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），

②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．

∵A（3，0），

∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．

综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，

∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，

∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．

∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，

∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．