Question

某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

【解析】

（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.

(2)列一元二次方程求解.

(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.

(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.

把(22，36)与(24，32)代入，得

解得

∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.

(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得

(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.

解得x1＝25，x2＝35(舍去)．

答：每本纪念册的销售单价是25元．

(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.

∵售价不低于20元且不高于28元，

当x＜30时，y随x的增大而增大，

∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．

答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．