Question

在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．

求证：BE+CF＝AB．

Answer

（1）BE＝1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由是等边三角形求出BC的长，再根据，求出，从而得出是有一个锐角等于的直角三角形，即可求得BE；

（2）过D作与M，作于N，由题（1）可知，又由题意知，绕D顺时针旋转一定角度后得到，所以，可证，则有，最后结合BM、ME、BE以及CN、NF、CF间的关系即可求证.

（1）如图1，由题意得，是等边三角形，

，

点D是线段BC的中点，

，

，即，

，

又，

，

，

在中，；

（2）如图2，过D作于M，作于N，

由（1）可知：，

，

，

由题意知，绕D顺时针旋转一定角度后得到，

（旋转的性质：旋转角相等），

，

，

，

即得证.