Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、EC、EF、FC，且EC⊥EF．

（1）求证：△AEF∽△BCE；

（2）若AC＝2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，△ABC的外接圆圆心与△CEF的外接圆圆心之间的距离为　   　．

Answer

（1）见解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）利用同角的余角判断出∠AFE＝∠BEC，即可得出结论；

（2）设AE＝x，AF＝y，则BE＝x，AB＝2x，BC＝AD＝2y，进而利用△AEF∽BCE，得出，即x2＝2y2①，再用勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2）2，即x2+y2＝3②，联立①②即可得出结论；

（3）先判断出△ABC的外接圆的圆心是AC的中点与△CEF的外接圆的圆心为CF的中点，进而得出MN是AF的一半，再用勾股定理求出AD，进而得出AF，即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠EAF＝∠CBE＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∵EC⊥EF，

∴∠FEC＝90°，

∴∠AEF+∠BEC＝90°，

∴∠AFE＝∠BEC，

∵∠EAF＝∠CBE＝90°，

∴△AEF∽△BCE，

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∵E、F分别是AB、AD的中点

∴AE＝BE＝AD，

设AE＝x，AF＝y，

则BE＝x，AB＝2x，BC＝AD＝2y，

∵△AEF∽BCE，

∴，

∴，

∴x2＝2y2①，

∵∠B＝90°，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴（2x）2+（2y）2＝（2）2，

∴x2+y2＝3②，

由①②得，（舍）或（舍）或（舍）或

∴AE＝，AF＝1，

∵点E是AB的中点，

∴AB＝2AE＝2，

（3）【解析】
如图，

∵∠CEF＝90°，

∴△CEF是直角三角形，

∴△CEF的外接圆的圆心是斜边CF的中点，记作点M，

∴CM＝FM，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的外接圆的圆心是斜边AC的中点，记作N，

∴AN＝CN，

∵CM＝FM，

∴MN＝AF，

由（2）知，AB＝2，

∵AC＝2，

根据勾股定理得，BC＝＝2，

∴AD＝2，

∵点F是AD的中点，

∴AF＝AD＝1，

∴MN＝AF＝，

故答案为：．