Question

如图，已知二次函数y＝x²﹣4的图象与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），C为顶点．一次函数y＝mx+2的图象经过点A，与y轴交于点D．

（1）求直线AD的函数表达式；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，且当1≤x≤3时，新抛物线对应的函数值有最小值为﹣1，求新抛物线对应的函数表达式；

（3）如图，连接AC、BC，在坐标平面内，直接写出使得△ACD与△EBC相似（其中点A与点E是对应点）的点E的坐标．

Answer

（1）y＝x+2；（2）y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1；（3）点E坐标为：（﹣，﹣2）或（2，﹣）或（0，﹣）或（，﹣2）．

【解析】

（1）令二次函数y＝x2﹣4=0，求出点A,B的坐标，把点A的坐标代入一次函数y＝mx+2，即可求出直线AD的函数表达式；

（2）求出顶点C的坐标，根据CC'∥AD，求出CC'解析式，设C'（t，t﹣4），则新抛物线对应的函数表达式为：，分，1≤t≤3，三种情况进行讨论.

（3）分△ACD∽△EBC和△ACD∽△ECB两种情况进行讨论.

【解析】
（1）当y＝0时，0＝x2﹣4，

∴x1＝2，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（2，0）

∵直线AD过点A，

∴0＝﹣2m+2，

∴m＝1

∴直线AD的函数表达式为：y＝x+2

（2）当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4

∴C（0，﹣4）

∵CC'∥AD

∴CC'解析式为：y＝x﹣4

∴设C'（t，t﹣4），则新抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣t）2+t﹣4

①当t＜1时，1≤x≤3对应的新抛物线部分位于对称轴右侧，且y随x的增大而增大，

∴当x＝1时，y最小＝（1﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝﹣1

∴y＝（x+1）2﹣5

②当1≤t≤3时，

∴x＝t时，y最小＝t﹣4＝﹣1

∴t＝3

∴y＝（x﹣3）2﹣1

③当t＞3时，1≤x≤3对应的新抛物线部分位于对称轴左侧，且y随x的增大而减小

∴x＝3时，y最小＝（3﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝3（舍去）

综上所述：新抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1

（3）△ACD与△EBC相似

∵点A（﹣2，0），点D（0，2），点C（0，﹣4），点B（2，0）

∴,

设点E坐标为（x，y）,

若△ACD∽△EBC

∴

∴

∴

∴（x﹣2）2+（y﹣0）2＝

（x﹣0）2+（y+4）2＝

∴解得：

∴点E坐标 或

若△ACD∽△ECB

∴

∴

∴

∴x2+（y+4）2＝（x﹣2）2+y2＝

解得：

∴点E坐标或

综上所述：点E坐标为： 或或或