Question

如图，四边形ABCD，，，连接BD．

（1）如图1，求证DB平分；

（2）如图2，连接AC，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长AD交BC的延长线于F，点E在边AB上，，连CE交BD于G，当，时，求BD的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）7

【解析】

（1）过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥DC于F．根据四边形内角和为360°得到∠A+∠DCB=180°．再根据同角的补角相等得到∠A=∠FCB．即可证明△AEB≌△CFB，得到BE=BF，根据到角两边距离相等的点在角平分线上即可得到结论；

（2）如图2中，在BD截取DE=AD，连接AE，首先证明△ADE是等边三角形，只要证明△DAC≌△EAB（SAS），即可解决问题；

（3）如图3中，作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC．想办法证明△CFM≌△EBN（AAS），△DGC≌△NGE（AAS），即可解决问题．

（1）如图1．过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥DC于F．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠A+∠DCB=180°．

∵∠DCB+∠FCB=180°，∴∠A=∠FCB．

∵BE⊥AD，BF⊥DC，∴∠AEB=∠CFB=90°．

在△AEB和△CFB中，∵∠A=∠FCB，∠AEB=∠CFB=90°，AB=CB，

∴△AEB≌△CFB，

∴BE=BF．

∵BE⊥AD，BF⊥DC，BE=BF，∴DB平分∠ADC；

（2）如图2中，在BD截取DE=AD，连接AE，

∵AB=CB，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=120°．

由（1）得：DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°．

∵DE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE．

∵∠DAE=∠CAB=60°，∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC与△EAB中，∵，

∴△DAC≌△EAB（SAS），∴DC=BE．

∵BD=BE+DE，∴BD=AD+CD，

即BD﹣CD=AD．

（3）作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC．

∵∠ADC=120°，∴∠CDM=60°．

∵DM=DC，∴△DMC是等边三角形，

∴CM=CD=DM，∠DMC=60°，∴∠FMC=120°．

∵CD∥EN，∴∠CDG=∠ENG=60°，

∴∠ENB=120°，∴∠CMF=∠ENB．

∵∠F+∠FBD=∠ADB=60°，∠FBD+∠EBN=60°，

∴∠F=∠EBN．

在△CFM和△EBN中，∵∠CMF=∠ENB，∠F=∠EBN，CF=BE，

∴△CFM≌△EBN（AAS），∴FM=BN，EN=CM=CD．

∵EN∥CD，∴∠CDG=∠GNE．

∵∠DGC=∠EGN，∴△DGC≌△NGE（AAS），

∴DG=GN=3，∴2BD=AF﹣FM+DN+BN=8+6=14，∴BD=7．