Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边AO在x轴上，，点B的坐标为．

（1）求A点坐标；

（2）过B作轴于C，点D从B出发沿射线BC以每秒2个单位的速度运动，连接AD、OD，动点D的运动时间为t，的面积为S，求S与t的数量关系，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当点D运动到x轴下方时，延长AB交y轴于E，过E作于H，在x轴正半轴上取点F，连接BF交EH于G，，当时，求点D的坐标．

Answer

（1）A（﹣14，0）；（2）S；（3）D（﹣7，）或（﹣7，﹣21）．

【解析】

（1）作BH⊥OA于H．理由等腰直角三角形的性质求出OA即可解决问题；

（2）如图2中，分两种情形当0≤t时，当t时，分别求解即可解决问题；

（3）如图3中，作BM∥AH交EH于N，BP⊥AD于P．理由相似三角形的性质证明EH=2AH，解直角三角形求出EH，AH，设H（m，n），构建方程组求出m，n，求出直线AH的解析式即可解决问题．

（1）作BH⊥OA于H．

∵BA=BO，∠ABO=90°，∴BH=AH=OH．

∵B（﹣7，7），∴AH=BH=OH=7，∴OA=14，∴A（﹣14，0）．

（2）如图2中，当0≤t时，S14×（7﹣2t）=49﹣14t

当t时，S14×（2t﹣7）=14t﹣49．

综上所述：S．

（3）如图3中，作BM∥AH交EH于N，BP⊥AD于P．

∵BP⊥AH，EH⊥AH，∴BP∥EH．

∵AB=BE，∴AP=PH，∴PBEH．

∵BN∥AH，∴EN=NH，

∴BNAH，∠BNG=∠BPD=90°．

∵BM∥AH，∴∠BMF=∠MAH．

∵∠AFB=2∠OAD=∠FMB+∠FBM，

∴∠FBM=∠FMB=∠OAD．

∵∠OAD+∠ADC=90°，∠PBD+∠ADC=90°，

∴∠OAD=∠PBD，∴∠PBD=∠NBG．

∵∠BPD=∠BNG=90°，∴△BPD∽△BNG，

∴2，∴BP=2BN，∴EH=2AH．

在Rt△AEH中，∵AE=14，EH=2AH，

∴EH，AH，

设H（m，n），则有：，

解得或，

∴H（，）或（，）．

易求直线AH的解析式为yx或y=﹣3x﹣42，令x=－7，得：y=或﹣21，

∴D（﹣7，）或（﹣7，﹣21）．