Question

如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)求证：DF＝DG．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）利用三角形内心性质得∠EBD＝∠CBD．加上∠DBE＝∠BAD，则∠CBD＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠BDA＝90°．然后证明∠ABC＝90°．于是根据切线的判定定理可判断BC是⊙O的切线；

（2）连接ED，如图，则∠BED＝∠CED，再证明∠EFD＝∠EGD，从而可判断△DFE≌△DGE．于是得到DF＝DG．

(1)∵点D为△BCE的内心，

∴BD平分∠EBC．

∴∠EBD＝∠CBD．

又∵∠DBE＝∠BAD，

∴∠CBD＝∠BAD．

又∵AB是圆的直径，

∴∠BDA＝90°．

在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．

∴BC⊥AB．

又∵AB为直径，

∴BC是圆的切线；

(2)连接ED，如图，则ED平分∠BEC，

∴∠BED＝∠CED．

∵∠EFD为△BFD的外角

∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，

又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，

∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣(90°﹣∠CDB)＝90°+∠CDB

又∵∠EBD＝∠CBD，

∴∠EFD＝∠EGD

又∵ED＝ED，

∴△DFE≌△DGE(AAS )．

∴DF＝DG．