Question

在“学本课堂”的实践中，王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习.

（课堂提问）王老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？

（互动生成）经小组合作交流后，各小组派代表发言.

（1）小华代表第3小组发言：AB=2BC. 请你补全小华的证明过程.

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC.

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，

即：点B、C、D共线.（请在下面补全小华的证明过程）

（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，若BC=1，求AB的长.

（思维拓展）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=3，则△ABD的周长为       .

（能力提升）如图4，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，则AD、DB、BC三者之间的相等关系是       .

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）DB2+BC2=AD2.

【解析】

（1）根据提示证明出△ABD为等边三角形即可说明BC和AE的关系；

（2）过点B作AC边的垂线,交AC的延长线于点D ,设，则，解出即可；

（3）思维拓展:作BD⊥CD于点E ,作CF垂直AD的延长线于点F，设，，然后表示出,边建立方程解出即可.

（4）能力提升:把△ABD沿AB边翻折得到△AEB，连接ED , EC ,先通过角度转换得到 再证明,,即可求出AD、DB、BC三 边的关系;

（1）证明：把△ABC沿AC翻折，得到△ADC,

∴∠ACD＝∠ACB＝90°,

∴∠BCD=∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°,

即：点B、C、D共线，

∴AB=AD,

∵∠BAC=30°,

∴∠ABC=60°,

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD=2BC.

（2）过点B作AC边的垂线,交AC的延长线于点D,

∵∠ACB=135°，

∴∠BCD=45°,

∵∠BDC=90°,BC=1,

设BD＝，则CD＝BC＝,

,

解得：，

∵∠BAC＝30°,

∴ AB＝2BD＝.

思维拓展：

（3）作BD⊥CD于点E ,作CF垂直AD的延长线于点F ,

∵∠BAD=90°,∠ADB=∠CDB=60°，

∴△BAD≌△BED，

∵∠BCD=45° ,

∴BE=CE，

设AD=x ,

∴BD= 2AD=2x ,

∴，

∴EC=EB=AB=,

∴

∴∠FDC=60°，∠ECD=30°，

∴ ，

∴ ，

∵AC＝1,

在中， ,

则 ，

解得：，

，

,

则△ABD的周长为：.

（4）能力提升：

把△ABD沿AB边翻折得到△AEB,连接ED，EC,

∵∠BAD＝∠CAD=20°,

∴∠EAB=20°,

∴∠EAC＝60°,

∵∠ACB＋∠ADB＝210°, ∠AEB＝∠ADB,

∴∠ACB＝∠AEB＝210°,

∴∠EBC＝360°－210°－60°＝90°,

∵AD＝AC，AE＝AD，

∴AE＝AC,

∴△AEC为等腰三角形，

∴EC＝AE＝AD，

在中，,

∵EB＝BD,EC＝AD,

∴.