Question

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）求证：∠ACB=90°；

（3）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A₁O₁C₁，点A、O、C的对应点分别是点A₁、O₁、C₁、若△A₁O₁C₁的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A₁的横坐标．

Answer

（1）y＝﹣+x+2；（2）见解析；（3）Q（3，2）或Q（﹣1，0）；（4）两个和谐点； A1的横坐标是1；.

【解析】

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）先求出AB、AC、BC的长度，根据勾股定理即可证明;

（3）分两种情况分别讨论，当∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q点的坐标．

（4）两个和谐点；AO＝1，OC＝2，设A1（x，y），则C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），当A1、C1在抛物线上时和O1、C1在抛物线上时，分两种情况列方程组可得A1的横坐标.

（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，

将点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，∴，

∴；

（2）证明：∵，，， ∴，即∠ACB=90°；

（3）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．

设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．

∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，

∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．

当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（﹣1，0）；

当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，

则直线BQ的直线解析式为y＝﹣2x+8，

∴，可求x＝3或x＝4（舍）

∴x＝3；

∴Q（3，2）或Q（﹣1，0）；

（4）两个和谐点；

AO＝1，OC＝2，

设A1（x，y），则C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），

①当A1、C1在抛物线上时，

∴，∴，

∴A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，

，∴，

∴A1的横坐标是.