Question

如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP²＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（    ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

Answer

C

【解析】

由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断②正确；利用SSS可证明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明△CPM∽△HPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.

当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，

连接PC，交EF于O，

∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，

∴AP=PC，

∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，

∴四边形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴AP=EF，故②正确，

∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，

∴△APD≌△CPD，

∴∠DAP=∠DCP，

∵四边形PECF是矩形，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠DAP=∠OFC，

∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，

∵AD//BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠DCP，

∴∠MCP=∠H，

∵∠CPH为公共角，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∵AP=PC，

∴AP2= PM•PH，故④正确，

当PC⊥BD时，PC有最小值，PC=BD=，

∵PC=EF

∴EF的最小值为，故⑤正确，

综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，

故选C.