Question

如图平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A点，与y轴交于B点，P（a，b）是这条直线上一点，且a、b（a＜b）是方程x²﹣6x+8＝0的两根．Q是x轴上一动点，N是坐标平面内一点，以点P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好是矩形，则点N的坐标为_____或_____．

Answer

（，3） （6，﹣3）

【解析】

如图，作BQ1⊥AP，交x轴于Q1，PQ2⊥AP，交x轴于Q2，作Q1N1⊥PQ2于N1，Q2N2⊥BQ1，交BQ1延长线于N2，设Q1坐标为（m，0），求出方程x2﹣6x+8＝0的两根可得P点坐标，代入y=kx+1可求出k值，进而可求出A点坐标，利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠BQ1O=∠ABO，即可证明△BQ1O∽△ABO，△ABO根据相似三角形的性质即可求出m的值，可得Q1坐标，根据B、Q1坐标可得直线BQ1的解析式，根据PQ2//BQ1及P点坐标可得PQ2解析式，同理可求出Q1N1和Q2N2解析式，联立解析式即可求出N1和N2的坐标，即可得答案.

如图，作BQ1⊥AP，交x轴于Q1，PQ2⊥AP，交x轴于Q2，作Q1N1⊥PQ2于N1，Q2N2⊥BQ1，交BQ1延长线于N2，设Q1坐标为（m，0），

解方程x2﹣6x+8＝0得x1=2，x2=4，

∵P（a，b）是这条直线上一点，且a、b（a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两根，

∴点P坐标为（2，4），

∴4=2k+1，

解得k=，

∴AP的解析式为：y=x+1，

当y=0时，x=；当x=0时，y=1，

∴点A坐标为（，0），点B坐标为（0，1），

∴OA=，OB=1，

∵四边形BQ1N1P和四边形BN2Q2P是矩形，

∴∠ABQ1=90°，

∴∠ABO+∠OBQ1=90°，

∵∠BQ1O+∠OBQ1=90°，

∴∠BQ1O=∠ABO，

又∵∠AOB=∠BOQ1=90°，

∴△BQ1O∽△ABO，

∴，即，

解得：m=，

∴Q1坐标为（，0），

设直线BQ1的解析式为y=kx+b1，

∴，

解得：，

∴直线BQ1的解析式为：y=x+1，

∵PQ2//BQ1，

∴设直线PQ2的解析式为：y=x+b2，

∴×2+b2=4，

解得：b2=，

∴直线PQ2的解析式为：y=x+，

当y=0时，x=8，

∴Q2坐标为（8，0），

∵Q1N1//Q2N2//AP，

∴同理可得：直线Q1N1的解析式为：y=x-，

直线Q2N2的解析式为：y=x-12，

联立Q1N1和PQ2解析式得，

解得：，

∴N1坐标为（，3）

联立Q2N2和BQ1解析式得，

解得：，

∴N2坐标为（6，-3），

综上所述：点N坐标为（，3）或（6，-3），

故答案为：（，3），（6，-3），