Question

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

试题（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；

（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．

试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO=∠CEO，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=，

在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，

∴CF==2，

∵四边形AECF是菱形，

∴CE=CF=2，

∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．