Question

如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．

Answer

①②④

【解析】

利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．

【解析】
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE＝DF，故①正确；

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC，故②正确；

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∴AB+BE＝AC﹣FC，

∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，

即AC﹣AB＝2BE，故④正确；

由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，

综上所述，正确的是①②④．

故答案为①②④．