Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH²＝HE•HB．正确结论的个数为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

①过点E作EP⊥BD于点P，求出EC=CF，证明△BCE≌△DCF，然后可得BH⊥DF，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；

②③由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝，然后可得结论；

④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出∠EBC＝22.5°，进而得到∠F＝67.5°，再由H是DF中点，可得CH＝HF，求出∠CHF即可得出结论；

⑤证明△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即CH2＝HE•HB，即可得到⑤正确．

【解析】
①过点E作EP⊥BD于点P，则EP＝EC，

∵∠BDC＝45°，

∴PD=EP，

易证△BEP≌△BEC，

∴BP=BC，

∵BD＝BF，

∴PD=CF，

∴EC=CF，

∵∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠CBE＝∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，

∴∠DEH+∠CDF＝90°，

∴∠BHD＝∠BHF＝90°，即BH⊥DF，

∴DH＝HF，

∵OD＝OB，

∴OH是△DBF的中位线，

∴OH∥BF，故①正确；

②③∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，

∴BD＝BF＝，

由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝，

∴OG：GH＝1：（﹣1），

故②错误，③正确；

④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴∠EBC＝22.5°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∵H是DF中点，

∴CH＝HF，

∴∠CHF＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，

∴∠CHF＝2∠EBC，故④正确；

⑤∵∠CHF＝∠CDF+∠ECH＝2∠EBC，∠EBC＝∠CDF，

∴∠ECH＝∠CBH，

∵∠CHE＝CHB，

∴△HEC∽△HCB，

∴HC：HB＝HE：HC，即CH2＝HE•HB，故⑤正确．

故选：D．