Question

（阅读资料）

同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．

（1）求4x²+16x+19的最小值．

【解析】
4x²+16x+19＝4x²+16x+16+3＝4（x+2）²+3

因（x+2）²大于等于0，所以4x²+16x+19大于等于3，即4x²+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2

（2）求﹣m²﹣m+2的最大值

【解析】
﹣m²﹣m+2＝﹣（m²+m）+2＝﹣

因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣

小于等于，即﹣m²﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．

【解析】
在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x

易证△AEF∽△ACB，则，，，…

请你写出剩余部分

（拓展应用）

如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　   　．（用含a，h的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为　   　．（直接写出答案）

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为　   　．（直接写出答案）

Answer

(探索发现)详见解析;( 拓展应用) ;(灵活应用) 720;( 实际应用) 1458cm2．

【解析】

探索发现：利用配方法解决问题即可；

拓展应用：利用相似三角形构建关于面积的二次函数，再利用配方法解决问题即可；

灵活应用：如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，转化为图②中模型解决问题即可．

实际应用：如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，转化为图②中模型解决问题即可．

【解析】
探索发现：，

∵，

∴矩形BDEF的面积的最大值为12；

拓展应用：设PN＝b，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴＝，

∵BC＝a，BC边上的高AD＝h，

∴＝，即PQ＝，

∴S＝b•PQ＝＝﹣b2+bh＝﹣（x﹣）2+≥，

∴S的最大值为：，即矩形PQMN面积的最大值为，

故答案为：；

灵活应用：如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，

∴EH＝20、DH＝16，

∴AE＝EH、CD＝DH，

在△AEF和△HED中，

∵，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF＝DH＝16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG＝HE＝20，

∴BI＝＝24，

∵BI＝24＜32，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL⊥BC于点L，

由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG×BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，

故答案为720；

实际应用：如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴EB＝EC，∵EH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵＝tan60°＝，

设CH＝BH＝x，则EH＝x，

∵BC＝BH+CH＝108＝2x，

解得：x＝54，

∴BH＝CH＝54，EH＝54，

∴EB＝EC＝2BH＝108，

∵AB＝70，

∴AE＝38，

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵CD＝76，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，

由【探索发现】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝×108×54＝1458cm2，

故答案为1458cm2．