Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻t，使得S_{四边形BPQC}：S_矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer

(1) ；(2) S＝﹣t2+t+6 ;(3) 满足条件的t的值为2;(4)

【解析】

（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．

（2）如图1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出QE，QF即可解决问题；

（3）根据S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20，构建方程解决问题即可；

（4）如图1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则，由此构建方程即可解决问题．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝4，AD＝BC＝3，

∴BD＝＝＝5，

由题意BP＝t，DQ＝t，

∵PQ∥AD，

∴＝，

∴＝，

∴t＝，

∴满足条件的t的值为；

（2）如图1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．

∵QE∥AD，

∴＝，

∴＝，

∴QE＝（5﹣t），

∵QF∥CD，

∴＝，

∴＝，

∴QF＝（5﹣t），

∴S＝S△PBQ+S△BCQ＝•PB•QE+•BC•QF＝•t•（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6；

（3）由题意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，

解得t＝2或﹣1（舍弃），

∴满足条件的t的值为2；

（4）如图1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．

当PQ⊥QC时，

∵∠EQF＝∠PQC＝90°，

∴∠EQP＝∠FQC，

又∵∠QEP＝∠QFC＝90°，

∴△QEP∽△QFC，

∴，

∴＝，

解得：t＝，

∴满足条件的t的值为．