Question

在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)当直线MN如图(1)的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB      ②DE=AD+BE

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，直接写出DE、AD、BE三者之间的关系       .

Answer

(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)DE=AD-BE，理由见解析.

【解析】

(1)①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，根据AAS即可证得Rt△ADC≌Rt△CEB；

②由①中的全等可得AD=CE，DC=BE，根据线段的和差即可求得结论；

(2)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，继而可得DE、AD、BE间的关系.

(1)①∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB；

②∵△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

∵DE=DC+CE，

∴DE=AD+BE；

(2)DE=AD-BE，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB；

∴AD=CE，DC=BE，

∵DE=CE-CD，

∴DE=AD-BE.