Question

已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x²＋(2k＋3)x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5

(1) 求证：AB≠AC

(2) 如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值

(3) 填空：当k＝________时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为________

Answer

(1)证明见解析(2) k＝－5(3) 14或16

【解析】

（1）通过根的判别式知道方程的两根情况为不相等的两实数根，可证明；

（2）依题意由勾股定理得k的值；

（3）由BC为腰，代入方程可求出k的值.

(1) ∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0

∴方程有两个不相等的实数根

∴AB≠AC

(2)依题意得，AB2＋AC2＝BC2＝25

∵AB＋AC＝－(2k＋3)，AB·AC＝k2＋3k＋2

∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝2k2＋6k＋5＝25

解得k1＝－5或k2＝2

∵AB＋AC＝－(2k＋3)＞0

∴k＜

∴k＝－5

(3) 依题意得，BC为等腰三角形的腰

将x＝5代入方程中，得25＋5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0

解得k1＝－6，k2＝－7

此时周长为14或16