Question

如图1，是的直径，是弦，点是的中点，交的延长线于．

（1）求证：是的切线；

（2）如图2，作于，交于，若，，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）8

【解析】

（1）连接BC、OP，由AB是⊙O的直径、PE⊥AE知PE∥BC，根据点P是的中点知OP⊥BC，即可得OP⊥PE；
（2）由（1）知，四边形PECQ是矩形，从而可设PE=CQ=BQ=x，根据勾股定理求得BN的长，先证△BHN∽△BQO得，表示出BO、OQ的长，再证△PQN∽△BHN得，即，求出x即可．

【解析】
（1）如图1，连接BC、OP，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AE，
又∵PE⊥AE，
∴PE∥BC，
∵点P是的中点，
∴OP⊥BC，
∴OP⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OP，

由（1）知，四边形PECQ是矩形，
∴设PE=CQ=BQ=x，
∵NH=3，BH=4，PH⊥AB，
∴BN=5，
∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°，
∴△BHN∽△BQO，

∴，即，

解得：BO=，OQ=，
∴PQ=PO-OQ=BO-OQ=，
∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°，
∴△PQN∽△BHN，

∴，

即，

解得：，

∴PE=8.