Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F．

（1）如图，当点E在线段CA上时，求证：BE⊥CD；

（2）若BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；

（3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC=2BC；（3）22.5°或67.5°．

【解析】

（1）根据角之间的等量关系及中点的特点即可得出答案；

（2）根据题意易证△BCE∽△ACB，根据相似三角形比例关系即可得出结论；

（3）分①点E在线段CA上时；②点E在线段CA延长线上讨论求解．

（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠A=∠DCA．

∵∠CBE=∠A，∴∠DCA=∠CBE．

∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠BEC+∠DCA =90°，∴BE⊥CD；

（2）线段AC与BC之间的数量关系是：AC=2BC．

∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴．

∵BE=CD，，∴，∴AC=2BC．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45°．

①当点E在线段CA上时，如图1，∠A∠BDF=22.5°；

②当点E在线段CA延长线上时，如图2，∠CDA=∠BDF=45°，∠BAC．

综上所述：∠BAC的度数为22.5°或67.5°．