Question

如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号）

Answer

①④

【解析】

①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；

②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题；

④正确．设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．

【解析】
如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．

∵BE=BH，∠EBH=90°，

∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，

∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，

∴∠FAE=∠EHC=135°，

∵BA=BC，BE=BH，

∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），

∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，

∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，

∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，

如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，

∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，

∵GH=DG+DH，DH=BE，

∴EG=BE+DG，故③错误，

∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，

设BE=x，则AE=a-x，AF=，

∴∴，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，④正确；

故答案为：①④.