Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣3x﹣k²+k+1＝0．

（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；

（2）若原方程的两实根分别为x₁，x₂，且（x₁﹣x₂+2）（x₁﹣x₂﹣2）＝﹣3，求k的值．

Answer

（1）见解析；（2）k的值为2．

【解析】

（1）计算判别式得到△=（k-2）2+1，利用非负数的性质得到△＞0，从而得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=3、x1x2=，再变形已知条件得到（x1+x2）2-4x1x2-1=0，即，然后解关于k的不等式即可．

（1）证明：∵△＝（﹣3）2﹣4（﹣k2+k+1）

＝k2﹣4k+5

＝（k﹣2）2+1，

∵（k﹣2）2≥0，

∴（k﹣2）2+1＞0，即△＞0，

∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
根据题意得x1+x2＝3、x1x2＝﹣k2+k+1，

∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，

∴（x1﹣x2）2﹣4＝﹣3，

（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1＝0，

即32﹣4（﹣k2+k+1）﹣1＝0，

整理得k2﹣4k+4＝0，解得k1＝k2＝2，

即k的值为2．