Question

某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：

售价（元/件）	50	60	80
周销售量（件）	100	80	40
周销售利润（元）	1000	1600	1600

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元

（2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值

Answer

（1）①与的函数关系式是；②40，70，1800；（2）5.

【解析】

(1)①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；

②设进价为a元，根据利润=售价-进价，列方程可求得a的值，根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得；

(2)根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可.

(1)①设与的函数关系式为，将(50，100)，(60，80)分别代入得，

，解得，，，

∴与的函数关系式是；

②设进价为a元，由售价50元时，周销售是为100件，周销售利润为1000元，得

100(50-a)=1000，

解得：a=40，

依题意有，

=

=

∵，

∴当x=70时，w有最大值为1800，

即售价为70元/件时，周销售利润最大，最大为1800元，

故答案为：40，70，1800；

(2)依题意有，

∵，∴对称轴，

∵，∴抛物线开口向下，

∵，∴随的增大而增大，

∴当时，∴有最大值，

∴，

∴.