Question

已知抛物y=ax²+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.

(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；

(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.

Answer

(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①顶点A(1,0)，y= x2－2x+1,②见解析.

【解析】

（1）根据抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；

（2）①y＝kx＋1−k＝k（x−1）＋1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．

【解析】
（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x−2）2，则c＝4a；

(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),

且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1)

又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点

①c=1，顶点A(1,0)

抛物线的解析式: y= x2－2x+1.

②

x2－(2+k)x+k＝0,

x＝(2+k±)

xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；

则D

yC＝(2+k2+k,

C，A(1,0)

∴直线AD表达式中的k值为：k AD==，

直线AC表达式中的k值为：k AC=

∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.