Question

如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合.

(1)求证：△ACE为等腰三角形；

(2)若AB=6，求AE的长.

Answer

（1）见解析；（2）4.

【解析】

（1）根据折叠的性质可得CD=CB，∠CDE=∠B=90°，再利用SAS即可证明△ADE≌△CDE，进一步即可证得结论；

（2）由折叠的性质和（1）的结论可得∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，进而可得∠BCE=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质即得BE与CE的关系，进一步即可求出结果.

【解析】
（1）证明：∵把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合，

∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴EA=EC，

∴△ACE为等腰三角形；

（2）由折叠的性质知：∠BEC=∠DEC，

∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，

∴∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°，∴，

又∵EA=EC，∴，

∴AE=4.