Question

已知等腰△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D，过点A作AE // BC交BD的延长线于点E，∠CAE的平分线交BE于点F.

(1)①如图，若∠BAC=36^o，求证：BD=EF；

 ②如图，若∠BAC=60^o，求的值；

(2)如图，若∠BAC=60^o，过点D作DG// BC，交AB于点G，点N为BC中点，点P, M分别是GD, BG上的动点，且∠PNM=60°. 求证：AP=PN=MN.

Answer

（1）①见解析；②；（2）见解析.

【解析】

（1）①如图1，根据题意可依次求得∠1=∠E=∠3=36°，∠2=∠4=72°，再根据等腰三角形的判定和等量代换即得结论；

②如图2，根据AB=AC，∠BAC=60°可得△ABC是等边三角形，根据AE // BC和BD是∠ABC的平分线，可得AB=AE，进一步即可求得∠1=∠3=∠E=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质可得BD与AB、EF与AE的关系，问题即得解决.

（2）如图3，连接DN、GN，根据题意易得△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形，然后利用SAS可证△AGP≌△NGP，从而可得AP=NP，再根据ASA可证△GMN≌△DPN，从而可得MN=PN，问题即得解决.

【解析】
（1）①证明：如图1，∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°，

∵BD是∠ABC的平分线，∴，

∴，∴BD=AD，，

∵AE // BC，∴，

∴，

∵AF平分∠DAE，∴，

∴∠3=∠E，

∴AF=EF，，

∴，∴AD=AF，

∴BD=EF；

②如图2，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵BD是∠ABC的平分线，∴，BD⊥AC，

∴，∴，

∵AE // BC，∴，，

∴，∴AB=AE，

∵AF平分∠CAE，∴，

∴，∴FA=FE，

过点F作FG⊥AE于G，则，

在直角△EFG中，∵，∴，，

∴，∴

∴；

（2）连接DN、GN，如图3，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，

由上一小题知：D为AC中点，∵DG// BC，∴G为AB中点，

又因为点N为BC中点，则△ADG、△BNG、△GDN为全等的等边三角形，

∴AG=GN，∠AGP=∠NGP=60°，

又∵GP=GP，

∴△AGP≌△NGP（SAS），

∴AP=NP，

∵∠MNP=∠GND=60°，∴∠MNG=∠PND，

又∵GN=DN，∠MGN=∠PDN=60°，

∴△GMN≌△DPN（ASA），

∴MN=PN，

∴AP=PN=MN.