Question

在平面直角坐标系中，点A(0,m)和点B(n,0)分别在y轴和x轴的正半轴上，满足，连接线段AB，点C为AB上一动点.

(1)填空:m=_____，n=_____；

(2)如图，连接OC并延长至点D，使得DC=OC，连接AD.若△AOC的面积为2，求点D的坐标；

(3)如图，BC=OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC.

求证：①△ACE为等腰直角三角形;

②BF－EF=OC.

Answer

（1）4，4；（2）D（2，6）；（3）①见解析；②见解析.

【解析】

（1）根据非负数的性质可得关于m、n的方程组，解方程组即可求出m、n的值；

（2）过点C作CG⊥y轴于点G，过点D作DM⊥y轴于点M，如图，由题意易得△AOB和△ACG均为等腰直角三角形，由△AOC的面积为2可求得AG的长，进而可求出OG的长，再利用三角形的中位线可得DM和OM的长，即得点D的坐标；

（3）①先利用SAS证明△OBE≌△CBE，可得∠BCE=∠BOA=90°，再根据∠OAB =45°和三角形的内角和求出∠AEC的度数，进一步即可证得结论；

②过点A作AH⊥OC交OC的延长线于点H，如图，根据AAS可证明△ACH≌△CEF，从而得EF=CH，同理可证△AOH≌△OBF，得OH=BF，问题即得解决.

【解析】
（1）∵，∴，解得.

故答案为4，4；

（2）由（1）得，A（0，4）、B（4，0），∴OA=OB=4，∵∠BOA=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，

过点C作CG⊥y轴于点G，过点D作DM⊥y轴于点M，如图，

则CG∥DM，∠ACG=45°，∴AG=CG，

∵△AOC的面积为2，∴，解得：CG=1，

∴AG=1，∴OG=3，

∵C是OD的中点，CG∥DM，

∴DM=2CG=2，OM=2OG=6，

∴点D的坐标是（2，6）；

（3）①证明：∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=∠CBE，

又∵OB=CB，BE=BE，

∴△OBE≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BOA=90°，即∠ACE=90°，

∵∠OAB =45°，∴∠AEC=45°，

∴ ∠AEC=∠CAE，∴CA=CE，

∴△ACE为等腰直角三角形；

②过点A作AH⊥OC交OC的延长线于点H，如图，

∵BC=BO，BE平分∠ABO，∴BF⊥OC，

∴∠AHC=∠CFE=90°，

∵∠CAH+∠ACH=90°，∠ECF+∠ACH=90°，

∴∠CAH=∠ECF，又∵AC=CE，

∴△ACH≌△CEF（AAS），∴EF=CH，

同理可证：△AOH≌△OBF（AAS），

∴OH=BF，

∴OC+EF=BF，即BF－EF=OC.