Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为_____．

Answer

．

【解析】

首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝1，设AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．

如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，

在△BCE与△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，

∴∠GCF＝45°，

在△GCF与△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS），

∴GF＝EF，

∵CE＝5，CB＝4，

∴BE＝3，

∴AE＝1，

设AF＝x，则DF＝4−x，GF＝3＋（4−x）＝7−x，

∴EF＝＝，

∴（7−x）2＝1＋x2，

∴x＝，

即AF＝，

∴DF＝4−＝，

∴CF＝=

故答案为：．