Question

某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元．经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售．

（1）当每件的销售价为53元，该玩具每天的销售数量为　   　件；

（2）若商店销售该玩具每天获利2000元，每件玩具销售价应定为多少元？

（3）若该玩具每件销售价不低于57元，同时，每天的销售量至少20件，求每件的销售价定为多少元时，销售该玩具每天获得的利润w最大？并求出最大利润．

Answer

（1）170；

（2）若商店销售该玩具每天获利2000元，每件玩具销售价应定为60元；

（3）每件的销售价定为57元时，销售该玩具每天获得的利润w最大，最大利润为2210．

【解析】

（1）根据当天销售量＝200−10×增加的销售单价，即可求出结论；

（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为200−10（x−50）件，根据当天的销售利润＝每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；

（3）直接利用当天的销售利润＝每件的利润×当天销售量，得出函数关系式进而求出最值即可．

【解析】
（1）200﹣（53﹣50）×10＝170（件），

答：该玩具每天的销售数量为170件；

故答案为：170；

（2）设每件玩具销售价应定为x元，

根据题意得，（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2000，

解得：x1＝50，x2＝60，

∵商店决定涨价销售，

∴x＝60，

答：若商店销售该玩具每天获利2000元，每件玩具销售价应定为60元；

（3）设每件的销售价定为x元，根据题意得，销售价应满足的条件为，

解得：57≤x≤68；

由题意得，w＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]

＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250，

∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝55，

∴当57≤x≤68时，w随x的增大而减小，

∴当x＝57时，w最大＝﹣10（57﹣55）2+2250＝2210，

答：每件的销售价定为57元时，销售该玩具每天获得的利润w最大，最大利润为2210．