Question

二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点(如图)，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为C(﹣3，0).

(1)填空：b＝_____，c＝_____.

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

(3)在(2)的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.

Answer

(1)，1；(2)MN的最大值

【解析】

(1)由一次函数解析式求得点A、B的坐标，然后将其代入二次函数解析式，即利用待定系数法确定函数解析式；(2)设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；(3)BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标；

【解析】

(1)由直线y＝﹣x+1得到：A(0，1)，

把x＝﹣3代入y＝﹣x+1得到：y＝﹣×(﹣3)+1＝.

故B(﹣3，).

将A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，

解得b＝，c＝1；

(2)设N(m，﹣m2m+1) ，

则，M，P点的坐标分别是(m，﹣m+1)，(m，0)，

∴MN＝(﹣m2m+1)﹣(﹣m2+1) ，

＝﹣m2﹣m

＝﹣(m+)2+，

∴当m＝﹣时，MN的最大值为；

(3)连接MN，BN，由BM与NC互相垂直平分，

∴四边形BCMN是菱形

由BC∥MN，

∴MN＝BC，且BC＝MC，

而BC＝﹣×(﹣3)+1＝，

即：﹣m2﹣m＝，

且(﹣m+1)2+(m+3) 2＝，

解得：m＝﹣1；

故当N(﹣1，4)时，BM与NC互相垂直平分.