Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且过点．

（1）直接写出a的值和点B的坐标；

（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；

（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一个动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer

（1），；（2）；（3）D点坐标为或．

【解析】

（1）将点（－2，4）代入y＝a（x＋5）（x−3）即可求出a，根据抛物线解析式可直接得出点B的坐标；

（2）作于点C，连接MP，首先求出平移后的新抛物线解析式，得到点M、P的坐标，然后求出BP，利用S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，即可求解；

（3）作BE平分交OP于E，作于F，根据求出，然后在中，可得，然后分情况讨论：①点D在x轴上方，设AD交y轴于点H，根据求出点H的坐标，然后求得直线PB与直线AH的解析式，联立即可求出点D的坐标，②点D在x轴下方，设AD交y轴于点K，同理可求点D的另一个坐标．

【解析】
（1）将点代入得：，

解得：，

∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

∴；

（2）作于点C，连接MP，

由题意得：将点向右平移2个单位得到点M为，

原抛物线解析式为，

则新抛物线解析式为，

联立，解得：，

∴点P的坐标为，

∵，，

∴，，，

∴，

∵S△PMB＝×PB×MC＝×MB×OP，

∴，

即点M到直线PB的距离为；

（3）存在符合题意的点D为或，

作BE平分交OP于E，作于F，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴在中，，

分两种情况：

①如图，点D在x轴上方，设AD交y轴于点H，

∵，

∴，即

∴，

∴点H坐标为，

设直线PB的解析式为，

代入和得：，解得：，

∴直线PB的解析式为，

设直线AH的解析式为，

代入和得：，解得：，

∴直线AH的解析式为，

联立，得，

∴直线AH与直线BP的交点坐标为；

②如图，点D在x轴下方，设AD交y轴于点K，

同①的方法可求得点D坐标为，

综上所述，存在满足题目条件的D点坐标为或．