Question

已知：线段MN＝a．

（1）求作：边长为a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）

（2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径．

Answer

（1）作图见解析；（2）（1）中正三角形ABC的内切圆的半径为5cm．

【解析】

（1）作以2a为斜边，∠CBN=30°的Rt△BCN，一条直角边BC为a，以B、C为边作等边三角形即可；（2）分别作CD⊥AB、BE⊥AC于点D、E，CD和BE相交于点O，根据等边三角形的性质可得点O为△ABC内切圆的圆心，OD为半径，BD=AB，利用勾股定理可求出CD的长，设OD＝x，在Rt△BOD中，利用勾股定理求出OD的长即可得答案.

（1）作射线BH，在BH上顺次截取BM、MN，使BM=MN=a，分别以M、N为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C，连接BC，分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点A，连接BA、CA，△ABC即为所求作的正三角形．

（2）如图：分别作CD⊥AB、BE⊥AC于点D、E，CD和BE相交于点O，

∵△ABC是等边三角形，

∴AD、BE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴点O即为正三角形ABC的内切圆的圆心，OD即为内切圆的半径．

∵a=10，

∴AB＝BC＝10，

∴BD＝AB＝5，

∴CD＝==15，

设OD＝x，

∵OD=OE，

∴OB＝OC＝15﹣x，

在Rt△BOD中，根据勾股定理，得

OB2＝OD2+BD2即（15﹣x）2＝x2+（5）2，

解得x＝5．

答：（1）中正三角形ABC的内切圆的半径为5cm．