Question

如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．

（1）∠BCD的度数为______°.

（2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形.

（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．

①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.

②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个．

Answer

（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．

【解析】

（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案.

（1）∵A（5，0）、C（0，3），

∴OC＝3，OA＝5，

又∵AD＝2，

∴OD＝OA﹣AD＝3，

∴OC＝OD，

∵∠COD＝90°，

∴∠OCD＝∠ODC＝45°，

又∵BC∥AD，

∴∠BCD＝∠ODC＝45°，

故答案为：45；

（2）若△PCD为等腰三角形，

①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合，

∴P（0，0），

∵E（﹣5，0），

∴PE＝5，

∴t＝5.

②当CP＝CD时，

∵CO⊥PD，

∴CO垂直平分PD，

∴PO＝OD＝3，

∴P（﹣3，0），

∵E（﹣5，0），

∴PE＝2，

∴t＝2.

③当DC＝DP时，

在Rt△COD中，DC＝＝3，

∴DP＝3，

∴OP＝3﹣3，

∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，

∴t＝8﹣3.

故答案为：5或2或8﹣3

（3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时，

PC⊥CD，

∵∠CDO＝45°，

∴△CPD为等腰直角三角形，

∵CO⊥PD，

∴PO＝DO＝3，

∴EP＝2，

即t＝2；

如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时，

∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC，

∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切，

∴t＝5.

如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时，

PA为⊙P半径，

设PC＝PA＝r，

在Rt△PCD中，

OP＝OA﹣PA＝5﹣r，

∵PC2＝OC2+OP2，

∴r2＝32+（5﹣r）2，

解得，r＝，

∴t＝EP＝10﹣＝.

∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切.

②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点.

如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点.

如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点.

如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝，

综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．