Question

如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．

（1）求BC，AC的长；

（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．

①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．

②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S_△OBF：S_△OCF＝1：4，则CD的长为　   　（直接写出结果）．

Answer

（1）4；（2）或8．

【解析】

根据BA＝BC，分别用勾股定理求出CO和AC的长.

①分情况AO＝OE和AO＝AE，画出图形，根据三角形中位线定理和证明三角形全等解决问题.

②分情况

i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积比等于底边之比，得到，再根据平行线性质∠BDG＝∠BFG，得到BD＝BF＝，最后使用勾股定理求出结论

ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论.

【解析】
（1）∵AO＝4，BO＝6，

∴AB＝10，

∵BA＝BC，

∴BC＝10，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

由勾股定理得：CO＝＝＝8，

AC＝＝＝4；

（2）①分两种情况：

i）如图1，当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，

∴AN＝EN，

∵DE⊥AC，

∴ON∥DE，

∴AO＝OD＝4；

ii）当AO＝AE＝4时，如图2，

在△CAO和△DAE中，

，

∴△CAO≌△DAE（AAS），

∴AD＝AC＝4，

∴OD＝4﹣4；

②分两种情况：

i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF＝1：4，

∴

∴

∵CB＝10

∴BF＝

∵EF⊥AC，

∴BG∥AC，

∴∠GBF＝∠ACB，

∵AE∥BG，

∴∠A＝∠DBG，

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠ACB，

∴∠DBG＝∠GBF，

∵∠DGB＝∠FGB，

∴∠BDG＝∠BFG，

∴BD＝BF＝，

∴OD＝OB﹣BD＝6﹣＝，

∴CD＝＝＝；

ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，

同理得，

∵BC＝10，

∴BF＝2，

同理得：∠BFG＝∠BDF，

∴BD＝BF＝2，

Rt△COD中，CD＝＝＝8，

综上，CD的长为或8．

故答案为：或8．