Question

已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．
（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．
 

Answer

（1）∠BPC=90°+∠BAC，理由见解析；（2）∠BOC=2∠BAC
，理由见解析；（3）4∠BPC-∠BOC=360°，理由见解析；

【解析】

（1）根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；
（2）根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；
（3）结合（1）（2）的结论∠BPC=90°+∠BAC、∠BOC=2∠BAC，通过等量代换即可．

【解析】
（1）∠BPC=90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC；
（2）∠BOC=2∠BAC
如图，连接AO．

∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC），
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
（3）4∠BPC-∠BOC=360°，
∵点P为三角形三个内角平分线的交点，
∴∠BPC=90°+∠BAC
由∠BAC=2∠BPC-180°
点O为三角形三边垂直平分线的交点
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，
即4∠BPC-∠BOC=360°．