Question

如图1，已知线段、相交于点O，连接、.

（1）求证：；

（2）如图2，与的平分线、相交于点P，求证：.

Answer

（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）根据三角形的内角和是180°和对顶角的性质即可得到结论；

（2）由（1）的证明方法可得∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，根据AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，得到∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，化简即可得到.

（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；

（2）由（1）的证明方法可得：

∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，

∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴化简可得：2∠P=∠B+∠C，