Question

在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．

（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；

（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．

Answer

（1）15°；（2）∠BAD＝2∠EDC，证明详见解析．

【解析】

（1）由AD是边BC上的高，得到∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，根据三角形外角的性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，于是得到结论．

（1）∵AD是边BC上的高，

∴∠ADC＝90°，

∵AB＝AC，

∴AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝30°，

∴∠CAD＝30°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；

（2）∠BAD＝2∠EDC，

理由：∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，

∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，

∴∠BAD＝2∠EDC．