Question

如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系，位置关系．

（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

Answer

（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）结论：AE=BD，AE⊥BD．理由见解析；（3）满足条件的AD的值为17或7．

【解析】

（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；

（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题；

（1）如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，

∴∠BEH+∠EBH=90°，

∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，

（2）结论：AE=BD，AE⊥BD．

理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．

（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，

∴EH=DH，CH=DE=5，

在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，

∴

∴AD=AH+DH=12+5=17．

②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH=12，故AD=AH﹣DH=12﹣5=7，

综上所述，满足条件的AD的值为17或7．