Question

如图，在半圆中，点是圆心，是直径，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点。

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，求的长。

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由C为弧AD的中点，可得∠ABC=∠CBD，又知∠OCB=∠OBC，即证得∠OCB=∠CBE，进而证明出OC∥BE，最后即可证明出CE是⊙O的切线；

（2）求出半径和∠AOC=60°，由弧长公式计算即可．

（1）证明：如图，连接OC，

∵点C是中点

∴

∴∠ABC=∠CBD

∵OB=OC

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBD

∴OC∥BD，且CE⊥BE

∴CE⊥OC，且OC是半径，

∴CE是半圆O的切线．

（2）∵∠ABC=30°，且∠OCB=∠ABC，

∴∠OCB=∠ABC=30°

∴∠AOC=60°

∵AB=4

∴OA=2

∴的长=.