Question

如图，在平面直角坐标系中直线与轴相交于点，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点。

（1）求反比例函数的关系式；

（2）将直线沿轴平移后与反比例函数图象在第三象限内交于点，且的面积为8，求平移后的直线的函数关系式。

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）设反比例解析式为y=，将B坐标代入直线y=x-2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）分两种情况：向上平移和向下平移；当向上平移时，过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y=x-2平移后解析式为y=x+b，C坐标为（a，），三角形ABC面积=梯形BEDC面积－三角形ABE面积－三角形ACD面积，由已知三角形ABC面积列出关系式，将C坐标代入一次函数解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式；同理，向下平移时，三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积－三角形ACD面积，方法同上即可求解.

（1）将B坐标代入直线y=x-2中得：m-2=-4，

解得：m=-2，

则B（-2，-4），

设反比例解析式为y=，

将B（-2，-4）代入反比例解析式得：k=8，

则反比例解析式为y=；

（2）设向上平移后直线解析式为y=x+b，C（a，），

对于直线y=x-2，令x=0求出y=-2，得到OA=2，

过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，如图，

将C坐标代入一次函数解析式得：C（a，a+b），

∴a（a+b）=8，

∵S△ABC=S梯形BCDE-S△ABE-S△ACD=8，

∴，

∵，

∴，即，

∵a（a+b）=8，

∴b=6，

则向上平移后直线解析式为y=x+6；

设向下平移后直线解析式为y=x+m，C（a，），

对于直线y=x-2，令x=0求出y=-2，得到OA=2，

过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，如图，

将C坐标代入一次函数解析式得：C（a，a+m），

∴a（a+m）=8，

∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE-S△ACD=8，

∴

∵，

∴，即

∵a（a+m）=8，

∴m=-10，

则向下平移后直线解析式为y=x-10．

综上所述，平移后直线解析式为y=x+6或y=x-10．