Question

如图所示，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．

（1）∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?

（2）求由DG、GE和所围成的图形的面积（阴影部分）．

Answer

（1）∠BFG=∠BGF；理由见解析；（2）-．

【解析】

（1）连接OD，根据切线的性质可得出：OD∥GC，从而得出∠BGF=∠ODF．，由OD=OF得出∠ODF=∠OFD．然后利用等量代换可得∠BFG=∠BGF；（2）连接OE，根据阴影部分的面积=△DCG的面积-（正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积）计算即可．

（1）∠BFG=∠BGF

连接OD，

∵ OD=OF（⊙O的半径），

∴ ∠ODF=∠OFD．

∵ ⊙O与AC相切于点D，

∴ OD⊥AC

又∵ ∠C=90°，即GC⊥AC，

∴ OD∥GC，

∴ ∠BGF=∠ODF．

又∵ ∠BFG=∠OFD，

∴ ∠BFG=∠BGF．

（2）如图所示，连接OE，则ODCE为正方形且边长为3．

∵ ∠BFG=∠BGF，

∴ BG=BF=OB-OF=，

从而CG=CB+BG=

∴ 阴影部分的面积=△DCG的面积-（正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积）