Question

如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，

（1）证明：CF＝EB．

（2）证明：AB＝AF+2EB．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；

（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再将线段AB进行转化．

证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DC＝DE．

在Rt△ADC与Rt△ADE中，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AC＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．