Question

如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为﹣6，3，点P是射线AB上一个动点（不与点A，B重合）．M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为　   　；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为　   　．

（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．

Answer

（1）6；6；（2）MN的长不会发生改变，理由见解析

【解析】

（1）若点P表示的有理数是0，则AP＝6，BP＝3，根据题意先求出MP和NP，从而求出MN；若点P表示的有理数是6，则AP＝12，BP＝3，根据题意先求出MP和NP，从而求出MN；

（2）设点P表示的数是a（a＞﹣6且a≠3），然后根据点P的位置分类讨论：当﹣6＜a＜3时，AP＝a+6，BP＝3﹣a，根据题意先求出MP和NP，从而求出MN；当a＞3时，AP＝a+6，BP＝a﹣3，根据题意先求出MP和NP，从而求出MN.

【解析】
（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP＝6，BP＝3．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝4，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP+NP＝6；

若点P表示的有理数是6（如图2），则AP＝12，BP＝3．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝8，NP＝BP＝2，

∴MN＝MP﹣NP＝6．

故答案为：6；6．

（2）MN的长不会发生改变，理由如下：

设点P表示的数是a（a＞﹣6且a≠3）．

当﹣6＜a＜3时（如图1），AP＝a+6，BP＝3﹣a．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（3﹣a），

∴MN＝MP+NP＝6；

当a＞3时（如图2），AP＝a+6，BP＝a﹣3．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

∴MP＝AP＝（a+6），NP＝BP＝（a﹣3），

∴MN＝MP﹣NP＝6．

综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．