Question

如图，在矩形中，，过点作于点，延长交于点，连接，若，线段的长为__________．

Answer

【解析】

由直角三角形的性质得出AD=CD，EF=CF，CD=CF，设CF=x，则AB=CD=，BC=AD=CD=3x，得出BF=BC-CF=3x-x=2x，在Rt△ABF中，由勾股定理可得（）2+（2x）2=（）2，解得x=，得出CF=，EF=，AD=3，证明△ADE∽△CFE，得出，即可得出答案．

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=∠BCD=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AD=CD，∠DCE=60°，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF，∠CDF=30°，
∴CD=CF，
设CF=x，则AB=CD=，BC=AD=CD=3x，
∴BF=BC-CF=3x-x=2x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：（x）2+（2x）2=（）2，
解得：x=，
∴CF=，EF=，AD=3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴，即，
∴DE=；
故答案为：．